Conducción.

Ley de Fourier.

Aplicaciones prácticas.

Como se utiliza la ecuación de Fourier.

dQ/dτ = -  λ dĀ  x  t

Antes de empezar aclaramos que el signo significa que el flujo de calor va en contra del gradiente de temperaturas, es decir que el calor fluye en dirección contraria a la dirección en que aumenta la temperatura.

En forma genérica, en un problema real la ecuación de Fourier se opera de la siguiente manera:

1. Se analiza la superficie que es atravesada por el calor. Se la divide en elementos diferenciales dA. 

2. Se definen vectores dĀ perpendiculares a dichos elementos diferenciales de superficie, lo cual significa vectorizar la superficie.

3. Se calcula o se halla t en cada dĀ.

4. Se realizan los productos escalares t.dĀ

5. Se suman los resultados, y se multiplica luego por -λ.

A continuación se detallan ejemplos.

Ejemplo N° 1

Pared indefinida: superficie grande de espesor despreciable y material isotrópico y homogéneo.

Espesor despreciable quiere decir que es algo así como una chapa o una placa. El espesor puede ser de cualquier medida, pero las otras dimensiones del cuerpo deben ser mucho mayores.

Isotrópico significa que tiene las mismas propiedades en todas direcciones, y homogéneo implica que tiene las mismas propiedades en todos los puntos del material.

Un caso así es una pared de una vivienda que divide dos ambientes a distinta temperatura. A través de la misma habrá un flujo de calor. Suponiendo que las temperaturas se mantienen constantes a través del tiempo, el flujo de calor será continuo a traves del tiempo también,  lo que llamaremos régimen permanente.

En la cara 1 tendremos una temperatura t1 homogénea en toda ella, y en la cara 2 tendremos a t2 de la misma forma.

En los puntos intermedios del espesor e la temperatura caerá en forma lineal.

Para cada punto de las superficies se considerará que t tiene componente solo en la dirección del eje x, por lo que resultará:

Los vectores diferenciales de la superficie dĀ también tienen la misma dirección, por lo que se consideran todos iguales y se concentran en un factor común A.

Se reemplazan en la Ley de Fourier los diferenciales del segundo miembro por las expresiones halladas:

La derivada parcial del segundo miembro se considera derivada total, ya que en "y"  y en "z" las derivadas parciales valen cero.

Transponemos factores para realizar la integración:

Se integrará a ambos lados entre los valores correspondientes:

• en el primer miembro entre x=0 y el espesor x=e

• en el segundo miembro entre t=t1 y t=t2

Resolviendo las integrales, resulta:

Transponiendo una vez más, obtenemos una ecuación que calcula el flujo de calor, o la cantidad de calorías por unidad de tiempo y por unidad de superficie. 

Ejemplo N° 2

Tubo cilíndrico de material isotrópico, homogéneo y de longitud indefinida.

En este caso la transmisión es radial, y las superficies cilíndricas son isotérmicas.

Se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricas, por el cual el gradiente de temperaturas estará dado por derivadas parciales en las direcciones del radio, del angulo y de la longitud. La única que no será nula será la derivada respecto del radio, por lo que se toma como derivada total:

La superficie dA se puede considerar en su dimensión total como:

A=2¶Rl

donde l es la longitud del tubo.

El área será una función del radio, y serán los radios sucesivos que marcan la dirección del calor. La operatoria matemática con transposiciones e integraciones es la que sigue:

Volver a Mecanismos de Transmisión de Calor

Conducción  -  Convección  -  Radiación

Ver otro tema.

Consultas y comentarios: estebanrios@hotmail.com